Índice general: Prefacio 13 0 Preliminares 17 0.1 Conjuntos y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0.2 Aritmética y álgebra de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0.2.1 Números racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0.2.2 Polinomios con coeficientes racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 0.3 Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 Algunos problemas modelo 25 1.1 Una ecuación en geodesia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.2 Un problema de optimización en bioeconomía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 1.3 Un problema de equilibrio en biología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.4 Una taxonomía de problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2 Un problema "simple": resolver x 2 = 2 31 2.1 Primer intento: el método de bisección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.1 La convergencia del método de bisección . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Segundo intento: el método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2.1 La convergencia del método de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.2 El método de Newton como un problema de equilibrio . . . . . . . . . . 39 2.3 La relación con un problema de minimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3 Un problema general: resolver f(x) = 0 45 3.1 ¿Con qué aproximar?: Sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.1 Sucesiones que convergen a 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.1.2 Sucesiones convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2 ¿Cuándo aproximar?: Funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.2.1 Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 "Con qué aproximar" revisitado: sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 61 4 Aproximando la solución de x 2 = 2: desarrollos decimales 65 4.1 La solución de x 2 = 2 con sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 4.2 Desarrollos decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.2.1 La primera aproximación: parte entera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.2.2 El caso general: la parte "decimal" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 7 Índice general 4.3 La "convergencia" de las sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 4.3.1 El fenómeno de estabilización de dígitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 4.3.2 Cada sucesión de Cauchy define un desarrollo decimal . . . . . . . . . . 74 4.4 La solución de x 2 = 2 mediante el método de bisección . . . . . . . . . . . . . . 75 5 El cuerpo ordenado de los números reales 77 5.1 La definición "conjuntista" de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.1.1 Identificando desarrollos decimales infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.2 Las operaciones aritméticas en R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.2.1 Sucesiones de Cauchy equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.2.2 Propiedades de las operaciones aritméticas en R . . . . . . . . . . . . . 85 5.3 La estructura de orden de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.3.1 La noción de positividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 5.3.2 El orden de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 5.A Apéndice. Representación de punto flotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.A.1 Números de punto flotante y redondeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 5.A.2 Aritmética de punto flotante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6 Resolviendo los problemas modelo: nociones de completitud 95 6.1 Completitud con sucesiones de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 6.2 Completitud con encaje de intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.2.1 Encaje de intervalos y desarrollos decimales infinitos. . . . . . . . . . . 98 6.3 Completitud con sucesiones monótonas y acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.3.1 Las sucesiones monótonas y acotadas son de Cauchy . . . . . . . . . . . 101 6.3.2 Una tercera hipótesis de completitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.3.3 El número e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.4 La completitud de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 6.4.1 El número π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 7 Ecuaciones polinomiales 111 7.1 Raíces enésimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 7.1.1 La exponencial racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 7.1.2 El criterio de la raíz enésima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 7.2 Ecuaciones generales: aspectos cualitativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 7.2.1 Localización de las raíces reales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 7.2.2 Estimaciones sobre la cantidad de raíces reales . . . . . . . . . . . . . . 124 7.3 Cantidad de raíces en un intervalo: la regla de Sturm . . . . . . . . . . . . . . . 126 7.3.1 El algoritmo de Sturm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 7.3.2 El Teorema de Sturm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 7.4 Ecuaciones generales: aspectos cuantitativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 7.4.1 Un método seguro: la regla de Sturm + bisección . . . . . . . . . . . . . 130 7.4.2 El método de Newton para ecuaciones polinomiales . . . . . . . . . . . . 135 8 Índice general 8 Resultados de existencia para funciones continuas 145 8.1 Existencia de ceros: el Teorema de Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 8.1.1 Una versión topológica del Teorema de Bolzano: conexión . . . . . . . . 148 8.2 Existencia de extremos: el Teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . 151 8.2.1 Sucesiones en intervalos cerrados y acotados . . . . . . . . . . . . . . . 151 8.2.2 Existencia de extremos de funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . 153 8.2.3 Una versión topológica del Teorema de Weierstrass: compacidad . . . . . 155 8.2.A Apéndice. Un algoritmo de minimización . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 8.3 Existencia de estados de equilibrio: el Teorema de Punto Fijo . . . . . . . . . . . 162 8.3.1 Un caso de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 8.3.2 El caso general: funciones contractivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 8.3.3 Orden de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 9 El cuerpo ordenado completo de los números reales 175 9.1 La completitud de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 9.1.1 La densidad de Q en R y la exponencial real . . . . . . . . . . . . . . . 177 9.2 Supremo e ínfimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 9.2.1 La completitud en términos de supremos e ínfimos . . . . . . . . . . . . 182 9.3 Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 9.3.1 Series convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 9.3.2 Criterio de Cauchy de convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 9.3.3 Series absolutamente convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 9.3.4 Aproximación de números reales por medio de series . . . . . . . . . . . 193 9.A Apéndice. La completitud y los cuerpos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . 196 9.A.1 Extensiones de Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 9.A.2 Algunos resultados técnicos sobre cuerpos ordenados .

. . . . . . . . . . 201 9.A.3 La equivalencia de las tres hipótesis de completitud . . . . . . . . . . . . 207 9.A.4 Cuerpos ordenados arquimedianos completos . . . . . . . . . . . . . . . 209 10 Continuidad de funciones reales revisitada 213 10.1 Otra caracterización de la continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 10.1.1 Continuidad de las funciones trigonómetricas . . . . . . . . . . . . . . . 216 10.1.2 Continuidad Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . 218 10.1.3 Límites "continuos" . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 10.2 Caracterizaciones topológicas de la continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226 10.2.1 Conjuntos abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228 10.2.2 Continuidad en términos de conjuntos abiertos o cerrados . . . . . . . . 229 10.2.3 Continuidad de la función inversa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 10.3 Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 10.3.1 El módulo de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 11 Aproximaciones lineales: la noción de diferenciabilidad 239 11.1 La noción de diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 9 Índice general 11.1.1 Derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242 11.1.2 Diferenciabilidad y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 11.2 Reglas de derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 11.2.1 Derivada de una composición de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 248 11.2.2 Derivada de la función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 12 Estimaciones para funciones diferenciables 253 12.1 Estimaciones globales: Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 12.1.1 La "conservación" del promedio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 12.1.2 El Teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . .

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